スタディクラブ情報局

スタディクラブ情報局

三角比の公式をしっかり理解しよう!

三角比の公式をしっかり理解しよう!

この記事では、三角比の定義や基本公式(数学 I)を勉強していきます。

三角比の勉強でつまずいてしまった人は、この記事を読んで勉強しなおしましょう!

三角比の定義(sin, cos, tan)

三角比の定義を改めて勉強します。

「sin って何?」などと聞かれたときに、自分で答えられるようにしておきましょう。

座標平面上で、原点を中心とする半径 r の半円を考えます。

円弧上で、x 軸から角度 θ のところにある点を P (x, y) としたときに、

と定義します。

と定義します。

※数学 I の範囲では   となっていますが、学校によっては  で教えているところもあります。後者の場合、半円ではなくフルの円の図を書きます。

知っておくべき三角比の値

先ほどの三角比の定義に基づき、知っておくべき三角比の値を表にしてみました。

※ 90º での正接(tan)の値は定義されません。無限大とか 0 ではないので注意しましょう。

上表の三角比の値は、今後数学でいくらでも登場します。

図を描くまでもなく一瞬で値を思い出せるよう、特訓しておきましょう。

三角比の公式とその証明

いよいよ本題。

三角比で登場する基本公式を勉強していきます。

相互関係

異なる三角比の間には、次のような関係が成り立ちます。

 

まず 1 つ目の ですが、これは三角比の定義を用いて証明することができます。

証明)

右辺を計算して、左辺になるという方針で証明しました。

 

次に 2 つ目の ですが、これは三平方の定理を用いると計算できます。

証明)

図の直角三角形に着目する。

三辺の長さは r, |x|, |y| であるため、三平方の定理より

が成り立つ。両辺を  で割ると、

となり示された。

 

3つ目の式は、2つ目の式を変形することで証明できます。

証明)

の両辺を  で割ると、

となり示された。

 

以上が、三角比の相互関係とその証明でした。

証明も合わせて覚えておくと、覚え間違いを無くせます。

 

90º - θ, 180º - θ, 90º + θ の三角比

では続いて、90º - θ や 180º - θ の三角比の公式を見ていきます。

まずは公式を一通りご紹介しますね。

<90º - θ

<180º - θ

<90º + θ

 

以下、これらの公式を証明していきましょう。

90º - θ の公式の証明)

図のように 4 点 A, B, C, D をとる。

このとき、△OAC と △BOD は

OA = OB (円の半径)

∠AOC = ∠OBD = θ

∠ACO = ∠ODB = 90º

であるため合同となる。

よって点 B の座標は B(sinθ, cosθ) となる。

 

一方 ∠BOD = 90º-θ であるため、点 B の座標は B(cos(90º-θ), sin(90º-θ)) とも表現できる。

両者は全く同じであるため、

sin(90º - θ) = cosθ

cos(90º - θ) = sinθ

が成り立つ。

 

また、これらより

がしたがう。

 

180º - θ の公式の証明)

先ほど同様に、単位円を用いて考える。

点 A(cosθ, sinθ) とB(cos(180º-θ), sin(180º-θ)) をとると、線分 AB は x 軸と平行になる。

すると、点 B の座標は (-cosθ, sinθ) と書くこともできる。

したがって

cos(180º-θ) = -cosθ

sin(180º-θ) = sinθ

が成り立つ。

 

また、これらより

がしたがう。

 

90º + θ の公式は、90º - θ と 180º - θ の公式を用いて証明できます。

90º + θ の公式の証明)

まとめ

三角比の定義や基本公式、その証明をご紹介しました。

改めて列挙しておきます。

 

<相互関係>

 

<90º - θ

 

<180º - θ

 

<90º + θ

 

様々な公式があり最初は混乱するものですが、証明と共にじっくり勉強すれば知識が正確になります。

丸暗記だと

  • sin と cos を覚え間違える
  • マイナスをつけ忘れる

などの危険があるので、証明も欠かさずに理解しましょう。

 

基本公式は以上ですが、面積計算で登場する公式は次のページで紹介していますので、ぜひご覧ください:

三角比を用いた面積計算をマスターしよう!