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三角比を用いた面積計算をマスターしよう!

三角比を用いた面積計算

この記事では、三角比を用いた面積計算について説明していきます。

基礎的な面積公式の復習

具体的な問題に入る前に、基本となる面積公式を復習しましょう。

今後考えていく問題は、全て以下の公式をベースとしています。

長方形

最も単純なのは長方形の面積です。

 

縦の長さが a, 横の長さが b の長方形の面積 S は S = ab となるのでした。

「縦の長さ x 横の長さ = 面積」ということですね。

長方形の面積公式は一見当たり前ですが、今後の面積計算の基礎になるのでここで復習してみました。

三角形

次に、三角形の面積の計算方法を思い出しましょう。

底辺の長さが a、高さが h である三角形の面積 S は S = ah/2 と書けるのでした。

小学生の頃から「底辺 x 高さ ÷ 2」と覚えていたことでしょう。

三角形の面積を三角比で表すと…?

これまで、長方形や三角形の面積公式を復習しました。

ここから主役である三角比の登場です!

 

上図のような △ABC を考えましょう。

点 H は、点 A から直線 BC に下ろした垂線の足です。

※特に断りがない場合、a = BC, b = cA, (c = AB) と判断してOKです。

先ほどの面積公式には h (高さ)が含まれているのですが、三角比を用いることで h を用いずに面積を計算します。

∠ACB = θ とします。(図の赤色の角度です。)

ここで、△ACH に着目して三角比の定義を思い出すと

AH = ACsinθ

が成り立つことがわかります。したがって h = bsinθ となります。

先ほどの三角形の面積公式で h = bsinθ と置き換えると、

となり、これが三角比を用いた三角形の面積公式です。

三角比を用いたいろいろな面積問題

では、三角比を用いたいろいろな面積問題を見ていきましょう。

例題1:最もシンプルなパターン

a = 12, b = 4, C = 60º である △ABC の面積 S を求めよ。


図を書いても構いませんが、せっかく三角比で(見た目に依存せずに)解くので図を用いないでやってみましょう。

 

解答

三角形の面積公式 を用いる。

 

三角形の二つの辺と、その間の角度が分かっていれば面積は計算できるという訳ですね。

例題2:三辺の長さが分かっている三角形

a = 10, b = 8, c = 12 であるような △ABC の面積 S を求めよ。


先ほどは「二辺とその間の角」が分かっていましたが、今度は三辺が分かっている場合です

角度が分かっていないので、先ほどの公式をストレートに用いることはできません。

そこで、次のように工夫していきます。

 

解答

余弦定理より

であり、0º < A < 180º より sinA > 0 であるから

となる。

よって

 

例題3:平行四辺形の面積

平行四辺形 ABCD において、対角線 AC, BD の交点を O とする。

AC = 12, BD = 8, ∠AOD = 120º であるとき、平行四辺形 ABCD の面積 S を求めよ。


今度は平行四辺形ですが、やはり三角比を用いた三角形の面積公式を応用して計算します。

 

解答

平行四辺形の対角線は、各々の中点で交わるのでした。

したがって AO = CO = 6, BO = DO = 4 となります。

よって、△AOD の面積は

 

例題4:台形の面積

AD // BC である台形 ABCD において CD = 5, AC = 7, BC = 8, ∠ADC = 120º とする。

このとき、台形 ABCD の面積 S を求めよ。


だんだん難しくなってきましたね。

台形の面積公式や三角比の余弦定理をフル活用していきます。

 

解答

点 D から線分 BC に垂線 DH を下ろす。

AD // BC より ∠BCD = 180º - 120º = 60º

CD = 5 であるため、

 

AD = x とおく(x > 0)。△ACD で余弦定理より

これを解き、x = 3, -8

x > 0 より x = AD = 3

 

以上より、

例題5:正多角形の面積

一辺の長さが 1 の正十二角形の面積 S を求めよ。


複雑な図形は、簡単な図形にバラして考えます。

対角線を引き、12 個の三角形に分割しましょう。

各三角形の面積を求める過程で、やはり三角比が登場します。

 

解答

求める面積 S は、△OAB の面積の 12 倍である。

OA = OB = x とすると、△OAB で余弦定理より

 

したがって △OAB の面積は

以上より

まとめ:三角形の面積公式をフル活用する

三角比を用いて面積を計算する様々な問題をご紹介しました。

簡単なものから難しいものまで様々でしたが、よーく見てみると、使用している公式は

三角形の面積公式

余弦定理

くらいとわかります。

つまり、あらゆる問題はこうした基本公式の積み重ねなのです。

 

この記事でご紹介した問題を攻略する最善の方法は、

  • 三角比の定義
  • 三角比の拡張
  • 正弦定理
  • 余弦定理
  • 三角形の面積公式

などの基礎事項の復習から始めること。

 

この記事の内容を参考にして、三角比の面積をマスターしてください!

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